** Gain, perte et probabilité : un jeu de cartes

On propose à Olivier de jouer à un nouveau jeu, qui nécessite un jeu de \(52\) cartes. Les cartes sont identifiées par :

• l'un des neuf nombres (\(2\) ; \(3\) ; \(4\) ; \(5\) ; \(6\) ; \(7\) ; \(8\) ; \(9\) ; \(10\)) ou l'une des quatre figures (valet, dame, roi, as) ;
  
• l'une des quatre couleurs (cœur, carreau, trèfle et pique).
  

Lors d'une partie, on pioche une carte dans le jeu de \(52\) cartes.

• Si l'on pioche un trèfle qui n'est pas une figure, on gagne \(1\) point.
  
• Si l'on pioche la dame de trèfle, le roi de trèfle ou l'as de trèfle, on gagne \(2\) points.
  
• Si l'on pioche un valet qui n'est pas celui de trèfle, on gagne \(3\) points.
  
• Si l'on pioche le valet de trèfle, on gagne \(5\) points.
  
• Si l'on pioche une autre carte, on perd \(1\) point.
  

On note \(X\) la variable aléatoire donnant le gain du jeu.

1. Compléter le tableau ci-après établissant la loi de probabilité de \(X\).

\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Gain} \;x_i&\;\;\;\;\;&\;\;\;\;\;&\;\;\;\;\;&\;\;\;\;\;&\;\;\;\;\; \\ \hline \text{Probabilité}\;P(X=x_i)&\\ \hline \end{array}\end{align*}\)
2. Calculer les probabilités \(P(X=5)\) ; \(P(X=-1)\) et \(P(X\geqslant2)\), puis en donner une interprétation dans le contexte du jeu.
3. Calculer l'espérance de \(X\) et en donner une interprétation de cette espérance dans le contexte du jeu proposé.